OssatureRosaces

Etude sur le quinzième pavage pentagonal du plan

Au fil de l'étude s'est dessinée la possibilité d'une deuxième interprétation du pavage du plan par Penta15 en constatant la présence de nombreuses paires "carré-triangle équilatéral" que j'appelle CarTriEq : ce pavage pourrait-il se lire avec une structure de pavage "islamique"? (encore que je n'en sois pas spécialiste, mais je me suis souvenu du bouquin "Islamic Pattern" de Keith Critchlow, où une structure décrite est très proche des structures de la rosace et du pavage du plan par Penta15. Cette structure pave le plan avec des rosaces isométriques constituées de carrés, hexagones, triangles équilatéraux et est illustrée par la figure de gauche, elle porte aussi le nom de pavage de Diane).
Les quelques figures suivantes sont des éléments de ce questionnement et suivent les tentatives de superpositions des deux structures.

Tracé des "frontières", pour permettre une vérification

Cette dernière image utilise une rosace tronquée

L'examen des figures ci-dessus nous conduit à l'idée "plutôt que des rosaces qui s'entrechoquent, considérons une rosace tronquée dont un côté est le côté irrationnel de Penta15 (tous les autres côtés ayant pour longueur 1)", puis la rosace symétrique par rapport au milieu du grand côté, enfin les deux colonnes (ayant alors pour centres de symétrie les milieux de ces côtés).
Leur assemblage est analogue à la structure initialement proposée, et constitue l'ossature cherchée du pavage pentagonal du plan par Penta15 ,
il apparait des hexagones à centre, de deux types, ayant tous les côtés isométriques (figures ci-dessous).
Cette structure est compatible avec les diverses symétries, translations et antidéplacements du pavage pentagonal.

Nous pouvons bien affirmer que ces rosaces tronquées permettent de construire une ossature au pavage pentagonal du plan par Penta15 qui respecte aussi la stucture liée aux blocs de trois pavés Penta15.

donc un pavage ayant mêmes éléments de symétrie que le pavage du plan par le quinzième pentagone (Penta 15)

Rappel à propos des figures Cabri : Il y a souvent, dans les figures Cabri, des éléments qui peuvent être affichés, de manière dynamique, en déplaçant un point, en sortant un point d'un disque de couleur, ou de plusieurs disques concentriques, ou encore en promenant un point sur un segment multicolore. Certaines indications sont parfois fournies; si ce n'est pas le cas, il n'est pas interdit de sortir le point, de voir les possibilités et d'explorer !! Commentaires à venir pour certaines figures, éventuellement dans les pages associées.
Voir la page d'explications à propos de cette manipulation.

Au fil de l'étude s'est dessinée la possibilité d'une deuxième interprétation du pavage du plan par Penta15 en constatant la présence de nombreuses paires "carré-triangle équilatéral" que j'appelle CarTriEq : ce pavage pourrait-il se lire avec une structure de pavage "islamique"? (encore que je n'en sois pas spécialiste, mais je me suis souvenu du bouquin "Islamic Pattern" de Keith Critchlow, où une structure décrite est très proche des structures de la rosace et du pavage du plan par Penta15. Cette structure pave le plan avec des rosaces isométriques constituées de carrés, hexagones, triangles équilatéraux et est illustrée par la figure de gauche, elle porte aussi le nom de pavage de Diane). Les quelques figures suivantes sont des éléments de ce questionnement et suivent les tentatives de superpositions des deux structures.



Tracé des "frontières", pour permettre une vérification		Voir d'autres tentatives

		Cette dernière image utilise une rosace tronquée
L'examen des figures ci-dessus nous conduit à l'idée "plutôt que des rosaces qui s'entrechoquent, considérons une rosace tronquée dont un côté est le côté irrationnel de Penta15 (tous les autres côtés ayant pour longueur 1)", puis la rosace symétrique par rapport au milieu du grand côté, enfin les deux colonnes (ayant alors pour centres de symétrie les milieux de ces côtés). Leur assemblage est analogue à la structure initialement proposée, et constitue l'ossature cherchée du pavage pentagonal du plan par Penta15 , il apparait des hexagones à centre, de deux types, ayant tous les côtés isométriques (figures ci-dessous). Cette structure est compatible avec les diverses symétries, translations et antidéplacements du pavage pentagonal.

Nous pouvons bien affirmer que ces rosaces tronquées permettent de construire une ossature au pavage pentagonal du plan par Penta15 qui respecte aussi la stucture liée aux blocs de trois pavés Penta15.
		donc un pavage ayant mêmes éléments de symétrie que le pavage du plan par le quinzième pentagone (Penta 15)

suite Ossature1Quadri15	ou suite Ossature2Hexa15	Vers Conclusion
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images superflues? retour sur les recherches de bonnes rosaces en groupes de 2 colonnes. Et comment l'introduction de rosaces tronquées résoud le problème des chevauchements.

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Pierre CRESPIN	Etude sur le quinzième pavage pentagonal du plan	OssatureRosaces

Rappel à propos des figures Cabri : Il y a souvent, dans les figures Cabri, des éléments qui peuvent être affichés, de manière dynamique, en déplaçant un point, en sortant un point d'un disque de couleur, ou de plusieurs disques concentriques, ou encore en promenant un point sur un segment multicolore. Certaines indications sont parfois fournies; si ce n'est pas le cas, il n'est pas interdit de sortir le point, de voir les possibilités et d'explorer !! Commentaires à venir pour certaines figures, éventuellement dans les pages associées. Voir la page d'explications à propos de cette manipulation.
Voir le résumé de cette étude ou un diaporama ou figures en attente